10th Week assignment - 1. R Training
단순회귀분석, 잔차분석
서강대학교 20121802 김재현
2023-11-13
과제 1.
21장에 나오는 (업데이트된 강의노트) 회귀분석 결과를 R을 이용하여 실행하여 프로그램 코드와 결과를 제출.
1. [예제1] 회귀모형을 통한 종속변수 Y값 생성
x=1:3
y= 1+2*x+rnorm(3,0,0.5)
signif(y,3) #signif는 유효숫자를 정해준다. 여기서는 유효숫자를 3자리로 정한다.## [1] 2.53 5.40 7.422. [예제2] 최소제곱법으로 회귀모형 추정
y=c(2.69,4.38,8.13) #주어진 데이터세트와 같도록 y 변경
lm(y~x)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Coefficients:
## (Intercept) x
## -0.3733 2.7200(Intercept) = \(\alpha\)의 추정량
a
x = \(\beta\)의 추정량 b
3. [예제3] 분산분석표
anova(lm(y~x))## Analysis of Variance Table
##
## Response: y
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## x 1 14.7968 14.7968 20.921 0.137
## Residuals 1 0.7073 0.7073SSR = 14.7968, MSR = 14.7968(SSR을 자유도로 나눠준 값)
SSE = 0.7073, MSE = 0.7073(SSE를 자유도로 나눠준 값)
F-value = MSR/MSE ~ F(1,n-2)의 분포
p값 = 0.137
굉장히 큰 p값을 갖고있다. 이는 귀무가설 Ho(\(\beta = 0\))을 기각하지 못한다는 의미이다.
즉, x가 y에 영향을 미치지 못하는 것이다.
왜냐하면, 데이터 수가 작기 때문이다. 데이터가 충분하지 않다면 귀무가설을 기각하지 못하도록 가설검정은 귀무가설에 선호도를 두고 있다.
4. [예제4] 회귀계수 중 기울기 \(\beta\)에 대한 추정량 b
(성질5)에 나타난 통계량
- \(\beta\)에 대한 추정량 b의 분산 & 표준오차에 대한 불편추정량
- 가설검정을 위한(H0: \(\beta=0\), H1: \(\beta\neq0\)) 검정통계량
1) \(\beta\)에 대한 추정량 b의 분산 & 표준오차에 대한 불편추정량
# b의 분산의 불편추정량 = MSE/sigma(x-xbar)^2
# MSE = 0.707
# sigma(x-xbar)^2 = 2
Varb = 0.707/2
Varb # $\beta$에 대한 추정량 b의 분산에 대한 추정량## [1] 0.3535SEb = sqrt(Varb)
SEb # $\beta$에 대한 추정량 b의 표준오차에 대한 추정량## [1] 0.59455872) 가설검정을 위한(H0: \(\beta=0\), H1: \(\beta\neq0\)) 검정통계량
# 검정통계량 t = b/sigmahat(b) ~ t(n-2)
# sigmahat(b) = $\beta$에 대한 추정량 b의 표준오차에 대한 추정량
b = 2.72
# sigmahat(b) = SEb
t = b/SEb
t## [1] 4.574822검정통계량을 이용하여 p-value 계산
2*(1-pt(t,1)) #양측검정## [1] 0.1370024위에서 구한 분산분석표와 동일한 p값을 보여준다.
3) 88% 신뢰수준에서 신뢰구간 계산
유의수준\(\alpha\)를 구해보자, \(신뢰수준= 1 - \alpha\) 이므로 \(\alpha = 1-0.88 = 0.12\)
위 식(왼쪽식)을 이용하여 신뢰구간을
구하면
b + qt(1-0.06,1)*SEb #양쪽 검정이므로 alpha/2 = 0.06 이용## [1] 5.836786b - qt(1-0.06,1)*SEb## [1] -0.3967856R에서 확인하는 방법
이를 R에서 회귀분석 객체에 대한 summary()를 보고 파악할
수 있다.
1) 회귀분석 lm()의 summary()
M1 = lm(y~x)
summary(M1)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## 1 2 3
## 0.3433 -0.6867 0.3433
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.3733 1.2846 -0.291 0.820
## x 2.7200 0.5947 4.574 0.137
##
## Residual standard error: 0.841 on 1 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9544, Adjusted R-squared: 0.9088
## F-statistic: 20.92 on 1 and 1 DF, p-value: 0.137Coefficients에서 x행에 \(\beta\)에 대한 추정값 b, b의 표준오차에
대한 추정값, b의 검정통계량, 검정통계량에 의한 p값을 확인할 수 있다.
2) confint()로 신뢰구간 확인하기
confint(M1,parm = 'x',level=0.88)## 6 % 94 %
## x -0.3973734 5.837373x행에서 신뢰수준 88%일때 \(\beta\)에 대한 추정량 b의 신뢰구간을 확인할 수 있다.
5. [예제5]
(성질6)에 나타난 통계량
- \(\alpha\)에 대한 추정량 a의 분산 & 표준오차에 대한 불편추정량
- 가설검정을 위한(H0: \(\alpha=0\), H1: \(\alpha\neq0\)) 검정통계량
1) \(\alpha\)에 대한 추정량 a의 분산 & 표준오차에 대한 불편추정량
# n = 데이터의 갯수 = 3
# a의 분산의 불편추정량 = (1/n + xbar^2/sigma(x-xbar)^2)*MSE
# MSE = 0.707
# sigma(x-xbar)^2 = 2
# xbar = 2
VARa = (1/3 + 2^2/2)*0.707
VARa## [1] 1.649667SEa = sqrt(VARa)
SEa## [1] 1.2843942) 가설검정을 위한(H0: \(\alpha=0\), H1: \(\alpha\neq0\)) 검정통계량
# 검정통계량 tA = a/sigmahat(a) ~ t(n-2)
#sigmahat(a) = a의 표준오차에 대한 불편추정량 = SEa
a = -0.373
tA = a/SEa
tA## [1] -0.2904094검정통계량을 이용하여 p-value 계산
2*pt(tA,1) #양측검정이므로 2를 곱했다.## [1] 0.8200689R에서 확인하는 방법
이를 R에서 회귀분석 객체에 대한 summary()를 보고 파악할
수 있다.
1) 회귀분석 lm()의 summary()
M1 = lm(y~x)
summary(M1)##
## Call:
## lm(formula = y ~ x)
##
## Residuals:
## 1 2 3
## 0.3433 -0.6867 0.3433
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.3733 1.2846 -0.291 0.820
## x 2.7200 0.5947 4.574 0.137
##
## Residual standard error: 0.841 on 1 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9544, Adjusted R-squared: 0.9088
## F-statistic: 20.92 on 1 and 1 DF, p-value: 0.137Coefficients에서 (Intercept)행에 \(\alpha\)에 대한 추정값 a, a의 표준오차에
대한 추정값, a의 검정통계량, 검정통계량에 의한 p값을 확인할 수 있다.
2) confint()로 신뢰구간 확인하기
confint(M1,parm = '(Intercept)',level=0.80)## 10 % 90 %
## (Intercept) -4.327035 3.580369x행에서 신뢰수준 80%일때 \(\alpha\)에 대한 추정량 a의 신뢰구간을 확인할 수 있다.
6. [예제6]
#(1)
# A대학교의 학생 평균키에 대한 추정값 = 170cm
# A대학교 학생 평균키의 표준편차
SE = 10/sqrt(100)
# 95% 신뢰구간을 경험에 의한 법칙을 이용하면
170 - 2*SE## [1] 168170 + 2*SE## [1] 172#(2)
# A대학교의 학생키에 대한 추정값 = 170cm
# 95% 신뢰구간을 경험에 의한 법칙을 이용하면
170 - 2*10## [1] 150170 + 2*10## [1] 1907. [예제7]
(성질7)에 나타난 통계량
- Y에 대한 기댓값 E(Y)에 대한 추정량
- Y에 대한 추정량
predict()를 이용하여 R에서 확인하는 방법
1) E(Y)에 대한 추정량과 신뢰구간
predict()에 interval = ‘confidence’ argument 사용
predict(M1, newdata = data.frame(x=c(1,2,3)),interval='confidence')## fit lwr upr
## 1 2.346667 -7.408099 12.10143
## 2 5.066667 -1.102789 11.23612
## 3 7.786667 -1.968099 17.54143각 행은 x=1, x=2, x=3일 경우를 나타낸다.
fit 열에 추정값이 나오고 lwr,upr은 95% 신뢰구간의 상한,하한을 나타낸다.
2) Y에 대한 추정량과 신뢰구간
predict()에 interval = ‘prediction’ argument 사용
predict(M1, newdata = data.frame(x=c(1,2,3)),interval='prediction')## fit lwr upr
## 1 2.346667 -12.121988 16.81532
## 2 5.066667 -7.272244 17.40558
## 3 7.786667 -6.681988 22.25532두 추정량의 신뢰구간 차이 의미
E(Y)에 대한 추정량과 Y에 대한 추정량은 동일하지만, 신뢰구간에서 차이가 있음을 볼 수 있다. E(Y)에 대한 추정량의 신뢰구간이 Y에 대한 추정량의 신뢰구간보다 작다.
이는 두 추정량의 분산이 \(\sigma^2\) 만큼 차이가 나기 때문이다. \(\sigma^2\)의 불편추정량은 MSE이므로 두 추정량의 분산은 MSE만큼 차이가 난다.
(x-xbar)^2항
Y에 대한 추정량의 신뢰구간 크기를 살펴보면 x=2일 경우 가장 작은 것을 확인할 수 있다.
P = predict(M1, newdata = data.frame(x=c(1,2,3)),interval='prediction')
for (i in 1:3) {
diff = P[i,'upr']-P[i,'lwr']
print(diff)
}## [1] 28.93731
## [1] 24.67782
## [1] 28.93731x 평균값이 2이기 때문에 x=2일때 신뢰구간 폭이 가장 작은 것이다.
왜냐하면, x = 2일때, Y에 대한 추정량의 분산에서 \((x-\bar{x})^2\) 이 0이 되기 때문이다.
8. 잔차분석(회귀진단) 실습
1) 데이터준비
df1 = read_excel('아파트매매.xlsx',sheet='DATA',range = 'B4:E30')
class(df1)## [1] "tbl_df" "tbl" "data.frame"티블(tibble)인 df1을 데이터프레임으로 변경한다.
티블은 변환과정에서 행이름을 유지하지않고 매번 변경한다. 이렇게 되면, 영향점을 찾기 어려워지므로 데이터프레임으로 클래스를 변경한다.
df1 = as.data.frame(df1)
class(df1)## [1] "data.frame"head(df1)## Sales Dur Area Rooms
## 1 138.0 74 21 4
## 2 246.0 320 54 7
## 3 242.4 160 49 6
## 4 145.2 175 24 4
## 5 186.0 69 31 6
## 6 182.1 151 28 42) 회귀분석
M1 = lm(Sales~Area,df1)
summary(M1)##
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Area, data = df1)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -44.915 -12.668 0.116 13.771 32.509
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 53.2283 14.1505 3.762 0.00096 ***
## Area 4.4016 0.4183 10.522 1.8e-10 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 18.52 on 24 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.8218, Adjusted R-squared: 0.8144
## F-statistic: 110.7 on 1 and 24 DF, p-value: 1.804e-10회귀모형에 대한 유의성은 F검정의 p값으로 입증되었다.\(p-value=1.804\times10^{-10}\)
3) 잔차분석 gvlma()
gvlma(M1)##
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Area, data = df1)
##
## Coefficients:
## (Intercept) Area
## 53.228 4.402
##
##
## ASSESSMENT OF THE LINEAR MODEL ASSUMPTIONS
## USING THE GLOBAL TEST ON 4 DEGREES-OF-FREEDOM:
## Level of Significance = 0.05
##
## Call:
## gvlma(x = M1)
##
## Value p-value Decision
## Global Stat 9.96092 0.041091 Assumptions NOT satisfied!
## Skewness 0.35774 0.549763 Assumptions acceptable.
## Kurtosis 0.02305 0.879326 Assumptions acceptable.
## Link Function 8.51316 0.003526 Assumptions NOT satisfied!
## Heteroscedasticity 1.06697 0.301631 Assumptions acceptable.gvlma()의 귀무가설은 ’잔차가 선형성과 정규성을 잘
따른다.’이다. 그러므로, 귀무가설이 기각되면 (p값이 유의수준보다 작으면)
문제가 있는 것이다.
Global Stat, Link Function 항목을 보면 가정에 문제가 있는 것으로 나타난다. 이는, 모형의 선형성 가정에 문제가 있음을 암시한다.
4) 산점도 - 면적에 따른 아파트 매매가격 / 잔차와 예측값
plot(df1$Area,df1$Sales, pch =20, cex = 1.2, xlab = '면적 (단위: 평)', ylab = '매매가격 (단위: 백만원)', main = '면적에 따른 아파트 매매가격 변화', family= 'Noto Sans KR')
abline(M1, lwd = 2)
plot()에서 pch는 기호(점)의 모양을 결정하는
parameter이다.(아래 그림 확인) 
cex는 기호(점)의 크기를 결정한다.
plot(fitted(M1),rstudent(M1), xlab = '예측값', ylab = '외적 스튜던트화된 잔차', main = '예측값에 따른 외적 스튜던트화된 잔차', family = 'Noto Sans KR')
abline(h=0)
fitted(M1)은 M1 회귀분석에 의해 적합한, 즉 예측한 값을
보여준다. rstudent(M1)은 M1 회귀분석의 잔차를 외적
스튜던트화한다.
5) 극단값, 레버리지, DFFITS통계량, Cooks’ D 통계량
5-1) 극단값 outlier
표준화 혹은 스튜던트화된 잔차는 평균0, 표준편차 1의 분포를 따라야 한다. 그러나 \(\pm2\)이상이라면, mild outlier, \(\pm3\)이상이라면 extreme outlier로 판단한다.
본 실습에선 외적 스튜던트화한 잔차가 \(\pm1.5\) 이상인 데이터를 극단값으로 봤다.
outliers = abs(rstudent(M1))>1.5
outliers## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE TRUE TRUE
## 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
## FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSEcbind(df1[outliers,],rstud = rstudent(M1)[outliers])## Sales Dur Area Rooms rstud
## 2 246.0 320 54 7 -3.410286
## 3 242.4 160 49 6 -1.628404
## 12 257.4 125 39 5 1.906150
## 13 234.0 83 35 5 1.5122765-2) 레버리지 leverage, hat value
레버리지는 \((x-\bar{x})^2\)값인데
이는 레버리지가 x값이 평균으로 부터 멀리 떨어질 수록 커짐을 의미한다.
레버리지는 hat value라고 부르며, R에서도 hatvalues()를
이용하여 알 수 있다.
hat value는 모든 데이터 n개가 균등한 영향을 미쳐서 \(1/n\) 인게 가장 이상적이다. 이보다 2 ~4배 높은 값을 가지면 높은 레버리지를 갖는다고 판단한다.
본 실습에선 4배의 값을 가지면 높은 레버리지를 갖는다고 판단했다.
leverage = hatvalues(M1) > 4/26
leverage## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
## 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
## FALSE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSEcbind(df1[leverage,],hatv = hatvalues(M1)[leverage])## Sales Dur Area Rooms hatv
## 2 246.0 320 54 7 0.2701578
## 3 242.4 160 49 6 0.1741776
## 15 126.0 62 16 4 0.18065485-3) DFFITS
DFFITS 통계량은 모든 데이터(n개)를 이용하여 만들어진 i번째 예측값 \(\hat{y_i}\)와 i번째 데이터를 제거하고 (n-1)개의 데이터만으로 예측한 i번째 예측값 \(\hat{y}_{(-i)}\)의 차이를 스튜던트화한 수치이다.
DFFITS 통계량 수치가 크면 \(\hat{y_i}\)와 \(\hat{y}_{(-i)}\)의 차이가 크다는 의미이기 때문에 i번째 데이터의 영향력이 매우 큼을 보여준다.
DFFITS 통계량이 \(2\sqrt{3/(n-3)}\)이상이면 영향점이라 판단할 수 있다.
Dffits = abs(dffits(M1)) > 2*sqrt(3/(26-3))
Dffits## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
## 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
## FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSEcbind(df1[Dffits,],dffi=dffits(M1)[Dffits])## Sales Dur Area Rooms dffi
## 2 246.0 320 54 7 -2.0748425
## 3 242.4 160 49 6 -0.74785075-4) Cook’s D
DFFITS 통계량은 i번째 예측값(1개)만 비교하지만, Cook’s D 통계량은 모든 예측값(n-1개)의 차이를 고려한다. 즉, i번째 데이터가 있는 상태에서의 모든 예측값과 i번째 데이터가 없는 상태에서의 모든 예측값을 비교한다는 것이다.
Cook’s D 통계량은 SSE의 자유도인 n-2를 균등 배분한 \(1/(n-2)\) 값을 갖는 것이 이상적이다. 이보다 4배 이상 큰 값 즉, \(4/(n-2)\)이상을 가지면 이상점으로 판단 할 수 있다.
0.5보다 크면 의심가는 영향점이고, 1보다 크면 거의 확실한 영향점으로 판단한다.
CookD = cooks.distance(M1) > 4/(26-2)
CookD## 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
## FALSE TRUE TRUE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
## 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
## FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSEcbind(df1[CookD,],CookD = cooks.distance(M1)[CookD])## Sales Dur Area Rooms CookD
## 2 246.0 320 54 7 1.4917579
## 3 242.4 160 49 6 0.2616344par(mfrow = c(2, 2))
plot(M1)
6) 영향점 제거 후 회귀분석
영향점으로 판단한 2, 3번 데이터를 제거한다.
df2 = df1[-c(2,3),]영향점을 제거한 데이터 df2로 다시 회귀분석 한다.
M2 = lm(Sales~Area, df2)
summary(M2)##
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Area, data = df2)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -26.241 -7.583 -2.697 8.063 19.520
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 16.6267 11.5249 1.443 0.163
## Area 5.6732 0.3612 15.706 1.94e-13 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 12.41 on 22 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9181, Adjusted R-squared: 0.9144
## F-statistic: 246.7 on 1 and 22 DF, p-value: 1.941e-13회귀모형에 대한 유의성은 F검정의 p값으로 입증되었다.\(p-value=1.942\times10^{-13}\)
Adjusted R-squared: 0.9144로 매우 높은 적합도를 갖고
있다.
gvlma(M2)##
## Call:
## lm(formula = Sales ~ Area, data = df2)
##
## Coefficients:
## (Intercept) Area
## 16.627 5.673
##
##
## ASSESSMENT OF THE LINEAR MODEL ASSUMPTIONS
## USING THE GLOBAL TEST ON 4 DEGREES-OF-FREEDOM:
## Level of Significance = 0.05
##
## Call:
## gvlma(x = M2)
##
## Value p-value Decision
## Global Stat 1.39638 0.8448 Assumptions acceptable.
## Skewness 0.03120 0.8598 Assumptions acceptable.
## Kurtosis 0.22169 0.6378 Assumptions acceptable.
## Link Function 1.12639 0.2885 Assumptions acceptable.
## Heteroscedasticity 0.01711 0.8959 Assumptions acceptable.gvlma()를 통한 잔차분석 결과 모든 p값이 높기 때문에
안정적이라 볼 수 있다.
영향점을 제거하기 전과 후의 회귀방정식은 완전히 다르다.
제거전
\(\hat{y} = 53.2283 + 4.4016x\)
제거후
\(\hat{y} = 16.6267 + 5.6732x\)
잔차의 독립성 검정
Durbin-Watson 검정으로 잔차 간 독립성 검정을 실행한다. 이 검정은 자기상관계수(autocorrelation)가 0이라는(상관관계가 없다는) 귀무가설에 대한 검정이다.
car::durbinWatsonTest()를 이용한다.
durbinWatsonTest(M2)## lag Autocorrelation D-W Statistic p-value
## 1 -0.05978306 2.109832 0.882
## Alternative hypothesis: rho != 0p값이 0.782로 유의수준 5%에서는 귀무가설을 기각할 수 없다. 그러므로 독립성 가정에 큰 무리가 없다고 판단할 수 있다.
오차항에 대한 불편성(데이터 수집에 바이어스 있는지) 검정
이는 데이터 측정과정에서 발생할 수 있는 오차를 검정하는 것이기에, 본 실습에서는 정보의 제약으로 진행하기 어렵다.
잔차의 등분산성 가정 검정
car::ncvTest()의 귀무가설은 ’등분산성을
만족한다’이다.
ncvTest(M2)## Non-constant Variance Score Test
## Variance formula: ~ fitted.values
## Chisquare = 0.01425662, Df = 1, p = 0.90496p값이 0.90496으로 매우 높기 때문에 유의수준 5%에선 기각할 수 없다. 그러므로, 등분산성 가정이 깨지지 않았다고 보는 것이 타당하다.
잔차의 정규성 검정
shapiro.test()를 이용한다. 이때
residuals()로 회귀분석에 의해 적합한 회귀모형의 잔차를
추출하여 그 값을 shapiro.test()의 인수로 넣어야 한다.
shapiro.test()의 귀무가설은 ’잔차가 정규분포를
따른다.’이다.
shapiro.test(residuals(M2))##
## Shapiro-Wilk normality test
##
## data: residuals(M2)
## W = 0.93643, p-value = 0.1357p값이 0.1357로 유의수준 5%에서 귀무가설을 기각할 수 없다. 잔차가 정규분포를 따른다고 볼 수 있다.
영향점 제거 전후 slp 그래프 비교
par(mfrow=c(1,2))
plot(M1,which = 3)
plot(M2,which = 3)
왼쪽은 영향점 제거전 M1의 slp(scale-location plot)그래프, 오른쪽은 영향점을 제거한 M2의 slp이다.
M1의 slp는 예측값이 커질수록 잔차가 커지는 반면, M2의 slp는 비교적 안정적인 그래프를 보여준다.
변수 변환
power 변환
slp(M2)
##
## Suggested power transformation: 1.022764Suggested power transformation: 1.022764 즉, \(\lambda\)가 1에 가까우므로 변환이 필요
없음을 알 수 있다.
Box-Cox 변환
powerTransform(M2)## Estimated transformation parameter
## Y1
## 0.1523541하지만 Box-Cox변환에 의하면 \(\lambda\)추정값이 0.15로 \(y^0.15\)혹은 \(log(y)\)변환을 제안하고 있다.